Математика 3 - испитна питања
М А Т Е М А Т И К А 3
ПИТАЊА ЗА ПРВИ ДЕО УСМЕНОГ ИСПИТА
- Појам диференцијалне једначине првог реда. Решење диференцијалне једначине, опште, партикуларно, сингуларно решење.
- Појам диференцијалне једначине првог реда. Кошијев проблем и теорема о егзистенцији и јединствености решења.
- Једначина која раздваја променљиве.
- Хомогена диференцијална једначина првог реда.
- Диференцијална једначина првог реда која се своди на хомогену једначину.
- Линеарна диференцијална једначина првог реда.
- Бернулијева и Рикатијева диференцијална једначина.
- Једначина с тоталним диференцијалом.
- Диференцијалне једначине n-тог реда. Решење, опште и партикуларно решење. Кошијев проблем.
- Диференцијалне једначине n-тог реда које дозвољавају снижавање реда.
- Линеарна диференцијална једначина n-тог реда. Линеарност решења хомогене једначине. Линеарна независност функција. Детерминанта Вронског.
- Линеарна независност решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
- Фундаментални систем решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
- Нехомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
- Лагранжова метода варијације константи за нехомогену линеарну диференцијалну једначину 2-гог или n-тог реда.
- Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Корени карактеристичне једначине су реални и различити.
- Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Карактерисична једначина има комплексни корен.
- Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Међу коренима карактеристичне једначине има вишеструких.
- Нехомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Метода неодређених коефицијената.
- Појам система диференцијалних једначина. Решење система. Егзистенција и јединственост решења.
- Свођење диференцијалне једнчине n-тог реда на n диференцијалних једначина првог реда.
- Појам система диференцијалних једначина. Метода елиминације за свођење система n диференцијалних једначина на диференцијалну једначину n-тог реда.
- Опште решење система диференцијалних једначина и први интеграли.
- Системи диференцијалних једначина вишег реда. Свођење на системе диференцијалних једначина првог реда.
ПИТАЊА ЗА ДРУГИ ДЕО УСМЕНОГ ИСПИТА
- Системи линеарних диференцијалних једначина. Разни записи ситема. Кошијев проблем.
- Хомогени системи линеарних диференцијалних једначина.
- Фундаментална матрица хомогеног система диференцијалних једначина.
- Нехомогени системи. Опште решење нехомогеног система.
- Лагранжова метода варијације констаната за нехомогени систем.
- Решавање хомогеног система са константним коефицијентима. Једноструки реални корени.
- Решавање хомогеног система са константним коефицијентима - једноструки комплексни корени.
- Функције комплексне променљиве. Гранична вредност и непрекидност.
- Елементарне функције комплексне променљиве.
- Извод и диференцијабилност функције комплексне променљиве. Коши-Риманови услови.
- Аналитичке функције. Сингуларне тачке аналитичке функције.
- Интеграл функције комплексне променљиве.
- Кошијева теорема за једноструко и вишеструко повезану област.
- Неодређени интеграл функције комплексне променљиве.
- Прва Кошијева формула за функције комплексне променљиве.
- Резидум функције комплексне променљиве.
- Примена резидума функције комплексне променљиве.
- Дефиниција Лапласове трансформације и довољни услови за постојање.
- Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) = ebt .
- Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) = sin bt.
- Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) =tn.
- Лапласова трансформација јединичне одскочне функције f(t) = u(t-b). Доказати L{f(t-b)u(t-b)} = e-bsF(s), Re s > a, b > 0, ако је је L{f(t)} = F(s), Re s > a.
- Особина линеарности за Лапласову трансформацију. Доказати L{f(bt)} = 1/b F(s/b), Re s > ab, L{ebtf(t)} = F(s-b), Re s > a+b, ако је L{f(t)} = F(s), Re s > a.
- Особина извода за Лапласову трансформацију.
- Особина интеграла за Лапласову трансформацију.
- Дефиниција и особине конволуције и Борелова теорема.
- Инверзна Лапласова трансформација. Једнозначност.
- Инверзна Лапласова трансформација рационалне функције.
- Егзистенција инверзне Лапласове трансформације и Мелинова формула.