М А Т Е М А Т И К А 3

ПИТАЊА ЗА ПРВИ ДЕО УСМЕНОГ ИСПИТА

1. Појам диференцијалне једначине првог реда. Решење диференцијалне једначине, опште, партикуларно, сингуларно решење.
2. Појам диференцијалне једначине првог реда. Кошијев проблем и теорема о егзистенцији и јединствености решења.
3. Једначина која раздваја променљиве.
4. Хомогена диференцијална једначина првог реда.
5. Диференцијална једначина првог реда која се своди на хомогену једначину.
6. Линеарна диференцијална једначина првог реда.
7. Бернулијева и Рикатијева диференцијална једначина.
8. Једначина с тоталним диференцијалом.
9. Диференцијалне једначине n-тог реда. Решење, опште и партикуларно решење. Кошијев проблем.
10. Диференцијалне једначине n-тог реда које дозвољавају снижавање реда.
11. Линеарна диференцијална једначина n-тог реда. Линеарност решења хомогене једначине. Линеарна независност функција. Детерминанта Вронског.
12. Линеарна независност решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
13. Фундаментални систем решења хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
14. Нехомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда.
15. Лагранжова метода варијације константи за нехомогену линеарну диференцијалну једначину 2-гог или n-тог реда.
16. Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Корени карактеристичне једначине су реални и различити.
17. Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Карактерисична једначина има комплексни корен.
18. Хомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Међу коренима карактеристичне једначине има вишеструких.
19. Нехомогене линеарне диференцијалне једначине n-тог реда с константним коефицијентима. Метода неодређених коефицијената.
20. Појам система диференцијалних једначина. Решење система. Егзистенција и јединственост решења.
21. Свођење диференцијалне једнчине n-тог реда на n диференцијалних једначина првог реда.
22. Појам система диференцијалних једначина. Метода елиминације за свођење система n диференцијалних једначина на диференцијалну једначину n-тог реда.
23. Опште решење система диференцијалних једначина и први интеграли.
24. Системи диференцијалних једначина вишег реда. Свођење на системе диференцијалних једначина првог реда.

ПИТАЊА ЗА ДРУГИ ДЕО УСМЕНОГ ИСПИТА

1. Системи линеарних диференцијалних једначина. Разни записи ситема. Кошијев проблем.
2. Хомогени системи линеарних диференцијалних једначина.
3. Фундаментална матрица хомогеног система диференцијалних једначина.
4. Нехомогени системи. Опште решење нехомогеног система.
5. Лагранжова метода варијације констаната за нехомогени систем.
6. Решавање хомогеног система са константним коефицијентима. Једноструки реални корени.
7. Решавање хомогеног система са константним коефицијентима - једноструки комплексни корени.
8. Функције комплексне променљиве. Гранична вредност и непрекидност.
9. Елементарне функције комплексне променљиве.
10. Извод и диференцијабилност функције комплексне променљиве. Коши-Риманови услови.
11. Аналитичке функције. Сингуларне тачке аналитичке функције.
12. Интеграл функције комплексне променљиве.
13. Кошијева теорема за једноструко и вишеструко повезану област.
14. Неодређени интеграл функције комплексне променљиве.
15. Прва Кошијева формула за функције комплексне променљиве.
16. Резидум функције комплексне променљиве.
17. Примена резидума функције комплексне променљиве.
18. Дефиниција Лапласове трансформације и довољни услови за постојање.
19. Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) = e^bt .
20.  Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) = sin bt.
21.  Дефиниција Лапласове трансформације. Лапласова трансформација функције f(t) =tⁿ.
22. Лапласова трансформација јединичне одскочне функције f(t) = u(t-b). Доказати L{f(t-b)u(t-b)} = e^-bsF(s),  Re s > a, b > 0, ако је је  L{f(t)} = F(s),  Re s > a.
23. Особина линеарности за Лапласову трансформацију. Доказати L{f(bt)} = 1/b F(s/b),  Re s > ab, L{e^btf(t)} = F(s-b), Re s > a+b, ако је  L{f(t)} = F(s), Re s > a.
24. Особина извода за Лапласову трансформацију.
25. Особина интеграла за Лапласову трансформацију.
26. Дефиниција и особине конволуције и Борелова теорема.
27. Инверзна Лапласова трансформација. Једнозначност.
28. Инверзна Лапласова трансформација рационалне функције.
29. Егзистенција инверзне Лапласове трансформације и Мелинова формула.